天地中的基本力之一是弱力【DASD-238】解禁☆黒人ファック ASUKA。弱力触及将原子集中在整个或将它们分开......

作家：Ursula Whitcher（乌苏拉·惠彻） 2023-7-1

译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-4

你传闻过句子末尾的句号（period）和正弦波的周期（period，该英文单词一词多义，译者注）。周期这个词在数论中也有突出的含义。这些周期对于处置粒子物理常识题十分灵验。在本月的专栏中，我将告诉你相关周期是什么、物理学的来历以及扫数这些与甜甜圈几何步地的关系的更多信息。

从甜甜圈到积分

也许你听过这么一个见笑：拓扑学家无法辩认咖啡杯和甜甜圈。（淌若你不练习，请查抄 Keenan Crane 和 Henry Segerman 绘画的相关两者变换的概括插图。）

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几何学家大约辩认咖啡杯和甜甜圈。咱们致使不错辩认不同类型的甜甜圈。

举例，这是一个厚而甜的甜甜圈：

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一个厚厚的饼状甜甜圈，上头障翳着松软的糖

（相片由5th Luna拍摄， CC BY-NC 2.0）

这是一个薄脆的甜甜圈：

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一个薄脆的甜甜圈，中间有个大孔

（相片由Janet Bianchini拍摄， CC BY-NC 2.0）

但甜甜圈的几何步地是如斯天际有天，一朝你运转查验它，就很难再计划其他事情了！

让咱们革命式地描摹一下两个甜甜圈之间的区别。联想化的数学圆环曲面称为环面（torus，复数tori）。咱们不错使用两个圆来表征圆环的步地，一个圆围绕外部，另一个圆穿过中心的孔。在一个厚厚的饼状环面上，这两个圆的大小大要疏导。

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联想化数学的厚厚的甜甜圈，其圆围绕中心孔并通过中心孔。

在一个薄脆的圆环面上，外圆比内圆大得多。

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联想的数学的薄脆甜甜圈，大圆围绕中心孔，小圆穿过中心孔

在这些示例中，圆很容易测量。但偶然环面以更复杂的形貌出现。举例，假定x和y是复数变量，t是复数参数。计划方程的解

y² = x(x-1)(x-t)

这便是着名的（对于数论学家来说）勒让德椭圆弧线（elliptic curve）族。淌若咱们在“无限远”处引入一个解，那么从拓扑学上来说，它便是一个环面族。很难绘画两个复变量方程的解，但咱们不错绘画实数值。当设参数t等于3 时，如下所示：

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具有两个实数重量的椭圆弧线

你不错将绘画实数点的图形看作以一定角度切开甜甜圈。在此图中，你不错看到其中一个圆的歪斜版块和第二个圆的一部分。

测量这两个圆的长度很毒手。咱们不错尝试微积分课上的一个通用数学政策：建树一个积分来测量弧长。在这种情况下，适合的积分是：

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这里，积分是在环面/椭圆弧线中适合的简便闭合弧线γ上进行的。

但有一个问题！我将用一张容易沾污的橙色猫的漫画来解释它。

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画了一只睁大眼睛的猫，它说哇，这个积分确凿很难！

猫莫得说谎：这个积分确凿很难。微积分课上的圭臬时期不起作用。事实上，这个积分莫得阻滞步地的代数解。

周期和微分方程

积分 

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是一个周期的示例。对于数论学家来说，周期是一个通过在适合的子空间上求代数抒发式的积分而获得的数字。（从时期上讲，咱们应该大约使用不等式和有理统共的代数方程组来描摹咱们正在积分的区域。）

许多意象意象的常量，举例 π 和 ㏒ 2，都不错写成周期。对于周期有好多大而意象意象的问题：举例，咱们何如描摹哪些数字手脚周期出现？使用积分运算，不错证据周期相加或相乘会产生一个新周期。这使得周期具有环（ring）的结构。另一个悬而未决的大问题是描摹周期环得志的所相关系。

让咱们回过甚来尝试剖释咱们的特定周期。咱们知说念积分的成果是一个取决于参数t的数字，因此咱们将积分视为函数P(t)。咱们不错对其求导数：

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当咱们求导时，积分标志下的抒发式变得愈加复杂，但它保抓疏导的一般步地。通过找到一个公分母（common denominator），咱们不错细目P(t)、P'(t)和P''(t)之间的关系：

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这是一个微分方程！（它被称为Picard-Fuchs 方程，以法国数学家 Émile Picard（埃米尔·皮卡） 和德国犹太数学家 Lazarus Fuchs（拉扎鲁斯·富克斯） 的名字定名。）手脚二阶微分方程，该 Picard-Fuchs 方程有两个孤苦的解。这些解对应于环面上的两个不同的圆。

求解微分方程的圭臬次序是使用无限级数（infinite series）。在这种情况下，咱们周期的微分方程的解之一不错写成以下级数：

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其均分子触及一个抒发式

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看起来很像飞腾阶乘迁徙了1/2通常。淌若咱们用简写 

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 替换这个抒发式，咱们的级数就会获得更紧凑的暗示法：

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这是一个着名的级数，称为超几何级数（hypergeometric series），其分子参数为1/2，1/2；分母参数为1 （因为分母中唯有一个阶乘）。整个级数偶然用更紧凑的标志抒发：

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相关求解历程的更多详备信息，包括第二个孤苦周期的描摹，请参阅 Don Zagier 的潜入论文《微分方程的算术和拓扑》  https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.4171/176-1/33/HirzebruchLectureECM2016.pdf 。我想向你展示表面物理学中出现的一个更复杂的周期。

日落和费曼图

在粒子物理学中，描摹电子和光子等基本粒子之间的相互作用触及盘算推算贫寒的积分。（更倒霉的是，从数学家的角度来看，这些积分可能并不老是细致界说的！）物理学家使用复杂性约束增多的称为费曼图（Feynman diagrams）的图表来组织这些盘算推算。创建和操作费曼图有特定的限定，但在初步访佛时，东说念主们不错遐想它们讲明了粒子相遇、相互作用并可能履历转变，然后分说念扬镳的故事。

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具有多个轮回的费曼图

天地中的基本力之一是弱力（weak force）。弱力触及将原子集中在整个或将它们分开。它是禁止辐照性衰变历程并使碳14检测年岁成为可能的力量。

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一棵树的横截面

东说念主们不错期骗树木年轮来校准碳-14测年的次序。比尔·卡斯曼拍摄（环球畛域）。

要进行触及弱力的盘算推算，必须使用包含轮回的费曼图。这是一个带有两个轮回的费曼图，偶然称为日落图（sunset diagram）。

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看起来像穿过圆心的箭头的费曼图

好意思国数学家斯宾塞·布洛赫（Spencer Bloch）和法国物理学家皮埃尔·范霍夫（Pierre Vanhove）联手征询日落图。为了简化问题，他们使用了一个唯有两个时空维度的模子。（遐想粒子跟着时候的推移沿着一条线往复迁徙。）他们假定相互作用历程中产生的扫数粒子都具有疏导的质地m，有一个固定的外部动量K，而且他们输入了一个常数μ来均衡单元。成果所以下日落积分：

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这个积分确凿十分十分难！

关键问题之一是其分母可能为 0。要了解更多对于那边分母消亡，咱们不错设

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成果是一个取决于参数 t的弧线族：

(1+x+y)(x+y+xy) - txy = 0

这是 t=11 的成果图。

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具有两个实数重量且对于直线 y=x 对称的椭圆弧线

该图的特征可能看起来很练习。咱们有一个歪斜的圆和另一个圆的一部分——甜甜圈切片又哀悼了！换句话说，(1+x+y)(x+y+xy) - txy =0 是参数化的椭圆弧线族。

布洛赫和范霍夫聘任了一种看似练习的政策。他们设

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 来简化单元，然后寻找一个触及J的微分方程，

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由于该微分方程的右侧不为零，因此求解它比求解咱们之前看到的微分方程更复杂。圭臬微分方程次序分两步处置此类问题。领先，求解皆次方程（homogeneous equation），假定右侧为零。然后，找到非皆次方程（inhomogeneous equation）的解，其中右侧口舌零常数。

布洛赫和范霍夫证据，对于J⊝的Picard-Fuchs 微分方程的皆次解不错用经典超几何级数来写：

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这个级数用触及 1/12和5/12的飞腾阶乘替换咱们之前看到的 1/2。我使用 − 来联接为级数变量插入了更复杂的抒发式。

为了求解齐全的非皆次方程，咱们需要另一个突出常数Li₂(z)，称为二重对数（dilogarithm）。二重对数不错写成无限级数。当|z| < 1时，

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二重对数亦然一个周期！咱们不错用二重积分来写它。

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因此，周期为咱们提供了一种精准的次序来描摹日落图积分的解，同期亦然吃甜甜圈的原理！

进一步阅读

Spencer Bloch 和 Pierre Vanhove，日落图的椭圆二重对数。J. Number Theory 148 (2015)， 328–364. MR3283183， arXiv:1309.5865 [hep-th]。

马克西姆·康采维奇和唐·扎吉尔，周期。Mathematics unlimited—2001 and beyond， 771–808， Springer， Berlin， 2001. MR1852188， IHEP

Stefan Müller-Stach， 什么是……周期？AMS 见知， 2014年9月

Don Zagier，微分方程的算术和拓扑。欧洲数学大会，717–776， Eur. Math. Soc.， Zürich， 2018. MR3890449， MPIM

唐·扎吉尔 (Don Zagier)，《超卓的二重对数》。J. Math. Phys. Sci. 22 (1988)， no. 1， 131–145. MR940391， MPIM

致谢

我感谢英国剑桥艾萨克·牛顿数学科学征询场合 K 表面、代数环和动机同伦表面方式时代给以的维持和护理管待，我在该征询所的 30周年庆祝行径时代展示了该本色的一个版块。这项责任获得了 EPSRC （编号EP/R014604/1）的维持。

参考良友

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2023/07/01/period-math-physicals/

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