作家：Anders Kock（安德烈亚斯·科克三月系列，丹麦奥胡斯大学）2023-6-30

译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-3

弗朗西斯·威廉·劳维尔（Francis William Lawvere）是20世纪末于今最有影响力的东谈主物之一，因为他通过改良界限论用具来长入和简化数学。本文尝试刻画这如故过中的一些里程碑和愿景。

1 连气儿统物理（Continuum physics，即连气儿介质物理）

劳维尔出身于1937年2月，是印第安纳州芒西的一个农民的犬子。他在印第安纳大学学习物理学，很快就以为推理需要接收更多可用的以及更明确的基础，尤其是在连气儿统（连气儿介质）物理学中。他在印第安纳州是施普林格期刊《感性力学与分析档案 Archive for Rational Mechanics and Analysis》创始东谈主克利福德·特鲁斯德尔（Clifford Truesdell）的学生。特鲁斯德尔也有访佛的基础议程。劳维尔此时已经看到了界限论步伐的必要性。第一步是为了完满“界限能源学 categorical dynamics”（其中一些在1960年代末完满）。环节的一步是他对函数空间酿成的界限论表述，用到了通用性（陪同函子 adjoint functor）：笛卡尔闭界限（Cartesian closed categories）。

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F.威廉·劳维尔，布拉加，2007年3月

特拉斯德尔暗里接洽了艾伦伯格，以促使劳维尔当作艾伦伯格的博士生参加哥伦比亚大学（1960-63），其中1961-63年有一次中断，那时劳维尔去了加利福尼亚，从行家塔斯基（Tarski），斯科特（Scott）等那处学习更多的集结论和逻辑。在加州时期，劳维尔完成了他（在哥伦比亚大学）对于代数表面的函子语义学的博士论文，其中特等是代数表面的倡导所以无暗示的方式给出的。

2 集结的界限

对于劳维尔本东谈主来说，他寻找可用和可教的数学基础的转机点，是1963-64年在俄勒冈乡镇德学院担任助理训诲。2007年在布拉加 （葡萄牙）玛丽亚·曼努埃尔·克莱门蒂诺（Maria Manuel Clementino）和乔治·皮卡多（Jorge Picado）对劳维尔进行的广漠采访中[2]，劳维尔说：

在里德，我被请示，微积分的第一年应该专注于基础，第二年教公式。因此[...]我花了几个星期的准备时候试图联想基于ZF（策梅洛-弗兰克尔，Zermelo–Fraenkel）集结论的微积分课程。但是，寂静评估之后发现，从荫藏微分和积分的积累档次结构中，界说层数太多，而无法在一年内完成这些档次。康托尔无结构集结的界限结构似乎既通俗又接近。因此，集结界限的基本表面产生于隧谈的施行造就需要。

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F. W.劳维尔， A. Heller， R. Lavendhomme （后排）和A. Carboni在葡萄牙科英布拉的CT99

劳维尔的许大王人学成立（倡导，构造和定理）是由于悉力改良微积分和工程数学素质的遵守，况兼这些悉力导致他得出论断，数学（即使是微积分课程）的可行基础，不可在ZF中使用x∈y（成员）来表述，但不错笔据映射的倡导来表述ƒ: A → B（偏激合成）。劳维尔，在2007年布拉加的采访中说[2]:

从玄学上讲，不错说这些发展相沿了，即使在集结论和初等数学中，正如在高等代数和拓扑学中弥远以来所感受到的那样，这亦然正确的，即数学的本质并不存在于本质中，（∈“属于”是不可约的谓词它看起来很像本质），而是存在于形态中（举例由通用映射属性界说，有影响的倡导是同构不变结构）。与代数和拓扑学一样，这里用于精准抒发和有用处理这些想法的具体时期机器，是由Eilenberg-Mac Lane的界限论，函子和当然变换表面提供。

在里德学院学习一年后，劳维尔去了苏黎世，1964-66年他在那处拜访了贝诺·埃克曼数学研究所。埃克曼得手蛊惑了多位界限论学家参与。值得着重的是，单据（monad）的倡导以及它与代数表面和同调性的关系被建造（见[3]）。

从苏黎世开赴，不错参加在德国南部隔邻的Oberwolfach（奥伯沃尔法赫）举行的研讨会。在这里，劳维尔遭逢了彼得·加布里埃尔（Peter Gabriel），并向他学习了格罗滕迪克（Grothendieck）的几何学步伐，如SGA4中所述[1]。

3 格罗滕迪克

格罗滕迪克的责任对劳维而自后的责任产生了根人道的影响。他们第一次碰头是在尼斯的ICM（1970年海外数学家大会），他们王人是受邀演讲者。劳维尔在这里公开反对格罗滕迪克在一个单独的演讲中宣传他的“生计”通顺。

1973年，他们王人来访布法罗（Buffalo）。劳维尔在布拉加的采访中说：

我明晰地紧记他调换我代数几何的基本见地，如“点具有自同构”。1981年，我去法国南部的一块薰衣草田中他住的石屋看望他，接头他对一个神志的看法[...]。我终末一次见他是在1989年的并吞个场地（Aurelio Carboni从米兰开车送我去那处）：他显然很抖擞见到我，但因为宗教誓词不语言；他在一张纸上写谈，他也被梗阻筹商数学，尽管很快他的数学灵魂得手了，留给我一些脱落的数学条记。

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1997年3月在葡萄牙科英布拉讲学

4 界限能源学和详尽微分几何

在1967年的大部分时候里，劳维尔是芝加哥大学的助理训诲。劳维尔在这里运行在高档讲座系列中应用格罗滕迪克的拓扑斯（topos）表面，围绕连气儿介质力学的简化基础问题，灵感来自Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）的公理化。该系列Mac Lane，Jean Bénabou，Eduardo Dubuc等东谈主包括作家（那时正在劳维尔的带领下完成一篇论文）出席了会议。研讨会的特等产出不是十足进修的界限能源学，而是它的能源学基础的想法：对于假设的 “无尽小”对象D（哄骗假设空间界限的笛卡尔闭结构），具有可暗示的切丛结构T(M) = Mᴰ。这种“能源学”（kinematic）念念路的一个方面自后被一些东谈主发展为一个进修的“详尽微分几何”（synthetic differential geometry）。

代数几何的机灵，这是界限能源学中发展的基础，也不错引入并应用在尺度光滑微分几何；劳维尔使用代数表面（在他1963年论文的有趣上），即n元运算是光滑函数ℝⁿ → ℝ的表面，至关蹙迫的是不条目使用生成元和关系暗示。

5 初等拓扑斯、代数几何和逻辑

劳维尔于1968-69年回到苏黎世科学研究所（Forschungsinstitut）。此时的他，已经更笃信，拓扑斯不仅当作界限能源学的布景，而且适用于集结论和逻辑的倡导：布尔值模子，和力迫（如科恩Cohen 1963年对于连气儿统假设的责任）。在布拉加的采访中，他说：

这些显然十足不同的拓扑斯，触及无尽小的通顺和高档逻辑，可能是并吞个通俗公理表面的一部分，是我 1967 年芝加哥课程的答应。直到我第二次待在科学研究所之后，它才成为现实。1968-69年在瑞士苏黎世的期间，我发现了拓扑斯的幂集函子是研究以基本术语抒发酿成相伴层（associated sheaf）的运算问题的遵守，以及1969-1970之后通过我与迈尔斯·蒂尔尼（Myles Tierney）的合作 [...]。

此次合作发生在哈利法克斯（加拿大）：1969年，劳维尔在哈利法克斯的达尔豪西大学赢得了有名的基拉姆训诲职位，那时被允许邀请十几个合作家（其中包括蒂尔尼），相通得到基拉姆的相沿。这意味着在1969年至1971年期间，达尔豪斯成为一个吵杂的场地；特等是在数学上，初等拓扑斯的倡导在这里简单明确结晶。值得着重的是，劳维尔组织了SGA4[1]的预印本版块（exposé I-IV）被分发给他的研讨会的参与者（SGA4是阿廷，格罗滕迪克和韦迪尔的 “Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas”，直到1972年才稳重出书）。

但是，在1971年，达尔豪西的梦之队被放置了；大学行政部门拒却与劳维尔续约协议，因为他的政事举止抗议越南构兵和反对特鲁多的《战时条例》，以恐怖主义危急为借口暂停民事解放。（但在1995年，达尔豪斯操纵了举止庆祝界限论50年，劳维尔有参与）

劳维尔在1971年迟误哈利法克斯前夜组织的一次会议，有蹙迫的标题：“拓扑斯，代数几何和逻辑“，此次会议的论文集发表于1972年[6].

1971年离开哈利法克斯后，劳维尔成为奥胡斯（丹麦）的客座训诲（1971-72年），以及佩鲁贾（意大利）的客座训诲（1972-73年）。这些年，从哈利法克斯带来的拓扑斯表面的新见地，得到稳重和更鄙俚传播。另外，1973年劳维尔终末假寓在布法罗（好意思国），以时短时长的拜访停留，与他的欧洲一又友和合作家保握密切接洽；这包括1980-81年在IHÉS（巴黎）的一年。

咱们在哈利法克斯和自后学习的拓扑斯特等是“gros toposes 大拓扑斯”（如单纯集的拓扑斯），与“petit toposes 小拓扑斯”（如拓扑空间上的层拓扑斯）相对。这是SGA4，IV.4.10中所作的离别。这种区别对劳维尔而言是研究拓扑斯界限的一种输入，即在它们的函子相互关系中的拓扑斯。这些研究是由很多研究东谈主员开采的，并纪录在许大王人学专著、著述默契议中（有或莫得会议要津）。劳维尔卓越积极地参与会议，频繁当作特邀主讲东谈主；他对赢得他的想法的金钱以及愿景以书面形态写下来不太积极。举例，他1967年在芝加哥对于界限能源学的创举性演讲，直到1978年才以书面形态在奥胡斯举行的握续“怒放日”夏令会议中处理，主题为“几何中的拓扑斯表面步伐”[5]。

1982年，劳维尔（与他在布法罗的共事Steve Schanuel史蒂夫·沙努埃尔沿途）在布法罗组织了一次会议，“连气儿介质物理学中的界限”，连气儿介质物理学的很多主要研究东谈主员也参与其中，比如Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）。会议纪录中的三篇著述 （发表在[8]) 处理热力学基础问题。

劳维尔于1977年在达勒姆蹙迫的大型夏令会议的科学带领委员会中，其“层的应用” [4]，象征着在数学和物理表面倡导化中哄骗相对通俗的主题的冲突。劳维尔在达勒姆作念了一个对于“热力学基础中的界限”的演讲，但是，我无法找到书面纪录。另一方面，确乎干系于劳维尔在此次会议上的演讲（有强烈的申辩）的纪录，标题是“数学的逻辑”，劳维尔在演讲中说了他对数学玄学和发展的看法。我把它包括在内，因为若是莫得反馈他的政事/玄学生活和责任中失当协的特性，那么劳维尔的讣告是不齐全的：

在这场达勒姆申辩中，劳维尔在演讲运行时说（笔据我的条记和回首）：

数学是研究空间形态和数目关系的科学。数学的方针是什么？其方针是表现这种关系，以便当作东谈主们合营起来处置坐蓐斗争中的问题（不是数常识题）以及这种斗争的致密性（即科学实验）的基础。

在演讲的早期阶段，已经出现了一位不雅众一个打断性的问题（可能是修辞）说：“坐蓐的方针是什么？” 劳维尔想了好片刻才回复：“带你来这里！”

在演讲的后期，劳维尔说：

数学逻辑的方针；表现和简化学习、使用和数学的发展。[...]辩证的方式：还有一个反方针：浑沌、复杂化和进犯数学的学习、使用和发展。特等是，通过促进来冻合髻展：沟通将就一切王人参加一个先入之见的框架[...]。这两个方针在咱们每个东谈主的内心王人在相互斗争。[...]闲居，反方针胜过方针。这是因为反方针适合总揽阶层的利益。这是往时100年来发生了宏大变化的事情。操纵资产阶层的利益反对坐蓐力的发展。

6 公理内聚

这不是一个提供（我也无法提供）劳维尔数学和玄学责任的所有这个词方面齐全综述的场地。再提供一些环节词：概率、界限逻辑、盘算推算/纤维界限、度量空间当作充实后的界限，语言学，鄙俚与密集数目，物理量界限，格拉斯曼，公理内聚。

正如劳维尔2007[7]所讲，公理内聚的想法尤其导致了最近的新发展。

以下是2007年出书物的援用：

需要明确的内聚科学来阐发能源学数学表面的多样布景模子。这么的科学需要有填塞的判辨力，来阐发这些布景与其他数学界限有何不同，以及相互之间也不同，但又如斯合营，以致于它们不错相互出动。这种相互调遣的日常例子是天气预告员从有限元步伐（不错看作是组合拓扑斯中的分析）到连气儿介质热力学方程（不错看作是光滑函数和漫衍所在的光滑拓扑斯的分析）的应用。

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F. W. 劳维尔与作家在苏黎世Odeon咖啡馆， 1966年秋天

这种内聚公理科学的基础是一串四个函子p!  ⊣  p^*  ⊣  p_*  ⊣  p^! ，字符串中的每个字符串王人与下一个字符串左陪同。此类字符串的示例 在拓扑中很纯熟：

p! 将某空间的连续组件的集结关联到（充分好的）该空间，p^* 将集结上的闹翻空间结构关联到该集结，P_* 将其点集关联到该空间，终末P^! 将集结上的协闹翻空间结构关联到该集结。在拓扑斯界限中，这种字符串的属性组成了上述引文中条目的诸多死别。

劳维尔无情的很多想法中惟有一部分已经写出来，更无谓说发表、成形，但只以种子的形态存在于身边东谈主的念念想和条记中。

也许，异日硕果累累的植物将从这些种子中长出来。若是种子更容易赢得，种子的发芽将得到加强。一些建造此类档案的举止正在开展，特等是在 https://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere

对于作家：

安德斯·科克（Anders Kock）是丹麦奥胡斯大学数学系名誉训诲。他于1963年毕业于奥胡斯大学，并于1963-67年在芝加哥和苏黎世的劳维尔带领下攻读博士学位。他于1969-70年在哈利法克斯担任博士后，并于1971-72年在奥胡斯与劳维尔合作。1973年5月、1978年5月、1983年6月，他在奥胡斯组织了为期两周的怒放日研讨会（劳维尔参加了这些研讨会），并从1966年到2018年参加了很多界限表面会议和研讨会。他是几本书的作家，如《Synthetic Differential Geometry 详尽微分几何》（剑桥大学出书社，1981年，2006年第2版）和《流形的详尽几何》（剑桥大学出书社，2010年）。

参考府上

[1] M. Artin， A. Grothendieck and J. L. Verdier， Théorie des topos et cohomologie etale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Math. 269， Springer， Berlin (1972)

[2] M. M. Clemetino and J. Picado， Inteview with F. William Lawvere. http://www.mat.uc.pt/~picado/lawvere/interview.pdf (2007)

[3] B. Eckmann (ed.)， Seminar on triples and categorical homology theory (ETH 1966/67). Lecture Notes in Math. 80， Springer， Berlin (1969)

[4] M. P. Fourman， C. J. Mulvey and D. S. Scott (eds)， Applications of sheaves. Proceedings of the research symposium on applications of sheaf theory to logic， algebra and analysis (Durham 1977)， Lecture Notes in Math. 753， Springer， Berlin (1979)

[5] A. Kock (ed.)， Topos theoretic methods in geometry， Various Publications Series 30， Aarhus University， Aarhus (1979)

[6] F. W. Lawvere (ed.)， Toposes， algebraic geometry and logic. Lecture Notes in Math. 274， Springer， Berlin (1972)

[7] F. W. Lawvere， Axiomatic cohesion. Theory Appl. Categ. 19， no. 3， 41–49 (2007)

[8] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel (eds.)， Categories in continuum physics. Lecture Notes in Math. 1174， Springer， Berlin (1986)

[9] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel， Conceptual mathematics. Cambridge University Press， Cambridge (1997) (2nd ed. 2009)

[10] https://euromathsoc.org/magazine/articles/143

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